788 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Uni diesen Satz zu beweisen, hat man nur nöthig, zu zeigen, 

 dafs es für jeden einfach zusammenhängenden Bereich T eine Funk- 

 tion complexen Argumentes gibt, welche für einen Punkt im Innern 

 von T logarithmisch unendlich wird und deren reeller Theil längs 

 der Begrenzung von T den Werth Null hat. (Vgl. Riemann's 

 Dissertation Art. 21.) 



Es wird zunächst der reelle Theil dieser Funktion bestimmt. 



Die Begrenzungslinie von T sei L . Im Innern vtm T be- 

 grenze man durch eine in sich zurückkehrende einfache analytische 

 Linie L x , welche ganz im Innern von T liegt, ein Stück T 2 , 

 dessen Inneres man als von singulären Stellen frei annehmen kann, 

 und welches auf die Fläche S-, eines Kreises mit dem Radius r x = 1 

 conform abgebildet werden kann. 



In der Fläche S 2 construire man einen mit der Begrenzung 

 concentrischen Kreis, dessen Radius r 2 kleiner ist als r x und der 



Einfachheit wegen gleich ?- ] -e~ 1 = — angenommen werden möge, 



wo e die Grundzahl des natürlichen Logarithmensystems ist. 



Die diesem Kreise in dem Gebiete T 2 entsprechende Linie 

 sei mit L 2 und der zwischen L 2 und L liegende zweifach zu- 

 sammenhängende Theil von T mit T x bezeichnet. 



Der zwischen L x und L 2 liegende, den Gebieten T x und T 2 

 gemeinsame, zweifach zusammenhängende Theil möge im Anschlufs 

 an die in no. 12. gewählte Bezeichnungsweise mit T* bezeichnet 

 werden. Dem Mittelpunkte von S 2 entspreche der Punkt P . 



Man bestimme nun für das Gebiet T x eine Funktion w,, 

 welche längs L den Werth Null, längs L 2 den Werth — log r 2 = 

 -f- 1 hat, und für welche Au x = ist. 



Für alle im Innern von T x liegenden Punkte liegt u x zwi- 

 schen und -+- 1; der gröfste Werth, den u x längs L x erlangen 

 kann, welcher mit q x bezeichnet werden möge, ist angebbar kleiner 

 als 1. 



Längs L x denke man sich die Werthe von u x festgehalten 

 und für das Gebiet T 2 eine Funktion u 2 bestimmt, welche längs 

 L x mit u x übereinstimmt und für welche im Innern von T 2 Au 2 =0 

 ist. Es ist u 2 < q x . 



Die Werthe von u 2 längs L 2 denke man sich fixirt und be- 

 stimme für das Gebiet T x eine Funktion u 3 , welche längs L den 

 Werth Null hat, längs L 2 mit 1 + u 2 übereinstimmt und für 



