vom 10. October 1870. 791 



(Vergl. „Über einige Abbildlingsaufgaben", Borchardt's Jour- 

 nal Bd. 70 pag. 114 und 117.) 



Mit dem Beweise dieses Satzes ist zugleich die Grundlage 

 für ein Beweisverfahren gesichert, durch welches dargethan wird, 

 dafs es stets möglich ist, die Fläche einer einfach zusammenhän- 

 genden, die Ebene nur einfach bedeckenden, von einer überall con- 

 vexen Linie begrenzten Figur conform auf die Fläche eines 

 Kreises abzubilden, ohne dafs hierbei die Voraussetzung gemacht 

 wird, dafs die Begrenzungslinie aus einer endlichen Anzahl von 

 Stücken analytischer Linien bestehe, oder dafs dieselbe stetig ge- 

 krümmt sei. Hinsichtlich dieses Beweisverfahrens erlaube ich mir 

 auf eine Abhandlung „Zur Theorie der Abbildung" Bezug zu neh- 

 men, welche das Programm der polytechnischen Schule in Zürich 

 für das Schuljahr 1869—70 begleitet. 



Durch den Beweis des angeführten Satzes ist auch der Fall 

 jedes einfach zusammenhängenden Bereiches hinsichtlich des Nach- 

 weises der Erfüllbarkeit von vorgeschriebenen Unstetigkeitsbedin- 

 gungen auf den im Eingange dieser no. betrachteten Fall zurück- 

 führbar, indem hierbei den die UnStetigkeiten definirenden Funk- 

 tionen (p(z;z ) ähnlich gebildete Funktionen vi (g ; £ ) entsprechen, 

 welche jedoch im Allgemeinen nicht dieselben Coefficienten besitzen. 



17. Dem von Riemann ausgesprochenen Satze, dafs es stets 

 möglich sei, einen einfach zusammenhängenden Bereich zusammen- 

 hängend und in den kleinsten Th eilen ähnlich auf die Fläche eines 

 Kreises abzubilden, steht ein anderer Satz zur Seite. Es ist stets 

 möglich, einen einfach zusammenhängenden und geschlossenen Be- 

 reich zusammenhängend und in den kleinsten Theilen ähnlich auf 

 die Fläche einer Kugel abzubilden und zwar nur auf eine Weise 

 so, dafs drei beliebig vorgeschriebenen Punkten jenes Bereiches 

 drei ebenfalls vorgeschriebene Punkte der Kugelfläche entsprechen. 



Dieser Satz soll hier für den Fall einer von ebenen oder 

 von sphärischen Flächen gebildeten Polyederoberfläche bewiesen 

 werden. 



Zu diesem Zwecke reicht es hin, zu zeigen, dafs es für einen 

 solchen Bereich eine Funktion complexen Argumentes gibt, welche 

 für einen Punkt des Bereiches von der ersten Ordnung unendlich 

 grofs wird, für alle übrigen Punkte des Bereiches jedoch endlich, 

 stetig und eindeutig ist. 



