792 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Es wird zunächst der reelle Theil einer solchen Funktion 

 bestimmt. 



Man construire wie in dem unter no. 16. betrachteten Falle 

 zwei Linien L x und L 2 und bezeichne die hierdurch entstehenden 

 Gebiete wie in no. 16. mit T u T 2 , T*, mit dem Unterschiede, 

 dafs hier die Begrenzungslinie L wegfällt und dafs das Gebiet 1\ 

 einfach zusammenhängend und nur von der Linie L 2 begrenzt ist. 



In der Kreisfläche S 2 sei z' = r • e 1 *. Dem Punkte z' = 

 entspreche der Punkt P . An die Stelle der Funktion — log r 



in no. 16. tritt hier die Funktion -cos cb , der reelle Theil von 



r 



1 2 v<> 



— , Es möge r 2 so klein angenommen werden, dafs q x 



r x — r 2 



angebbar kleiner ist als 1; (z. B. r 2 = ^r 1 .) — Zur Vereinfachung 

 des Folgenden dient ein Hülfssatz, der vorher bewiesen werden 

 soll. 



Längs L 2 werde irgend eine analytische Werthenreihe U(r 2 ,fp) 

 angenommen und für den Bereich T l (vergl. no. 14.) die Funktion 

 U bestimmt, für welche AU = ist und welche längs L 2 mit 

 U(. r 2><P) übereinstimmt. Es wird behauptet, die über den Kreis 

 mit dem Radius r = r 2 und über den Kreis mit dem Radius 

 r = r t erstreckten Integrale 



J U(r 2 , (p) dtp und JU(r x , </>) ä<p 







haben gleichen Werth. 



Beweis. Für jeden Kreis mit dem Radius r, r 2 =r<r^ ist 



der Werth des Integrales / -^ — ds, wo - — die bekannte Bedeu- 



J dp c)p 



tung hat, gleich Null, weil die Kreislinie, über welche die Inte- 

 gration erstreckt wird, im Innern des einfach zusammenhängenden 

 Bereiches Tj liegt, und weil A U = ist. 



xr • .3 U i 3 U J 



JNun ist ~ x — ds — r -~— dtp , also ist auch 



dp ö r 







