858 Gesammtsüzung 



c -h c x w -f- c 2 w 2 H + c lx _ 1 w' x ~ l = ^(w) , 



so ist die Determinante dieses Systems von Congruenzen gleich 

 der vollständigen, über alle primitiven und nicht primitiven Wur- 

 zeln der Gleichung w" = 1 sich erstreckenden Norm von v/^(w), 

 welche ich durch N\}s(w) bezeichne. Wenn nun diese Determi- 

 nante iV*\|/(w) nicht congruent Null ist, mod. 2, so müssen bekannt- 

 lich alle Werthe der Unbekannten x, x x , ,...x, x _ x einzeln congru- 

 ent Null sein, nach dem Modul 2, also die Einheit E mufs in die- 

 sem Falle ein vollständiges Quadrat sein. 



Wenn nur E eine Einheit ist, welche sich nicht als ein Pro- 

 dukt von Potenzen der Kreistheilungseinheiten darstellen läfst, so 

 läfst sich nach einem bekannten Satze doch stets eine bestimmte 

 Potenz von E in dieser Weise ausdrücken und man hat allgemein 

 für jede Einheit E eine Gleichung von der Form 



E n = e e x l e 2 - .... e^ 1 , 



wo %,#,#!, .... # M _! ganze Zahlen sind, deren eine man gleich Null 

 nehmen kann, und welche nicht alle zugleich einen gemeinschaftlichen 

 Faktor haben. Wenn nun N-d/(w) nicht durch 2 theilbar ist, so 

 kann E n mit seinen conjugirten nicht stets positiv sein, ohne dafs 

 x, x x , — -2>-i alle grade sind; alsdann mufs n, welches nicht mit 

 allen diesen einen gemeinschaftlichen Faktor haben soll, ungrade 

 sein und weil E n ein Quadrat ist und n ungrade, so mufs E selbst 

 ein Quadrat sein. Man hat demnach folgenden Satz: 



„Für alle diejenigen Werthe der Primzahl >,, für welche 

 „die vollständige, über alle der Gleichung w ß = 1 ge- 

 nügenden (x Werthe des w sich erstreckende Norm 

 (I.) „JV\I<(iü) nicht durch 2 theilbar ist, ist eine jede aus 

 „Xten Einheitswurzeln gebildete Einheit, welche mit 

 „allen ihren conjugirten nur positive Werthe hat, noth- 

 „wendig ein Quadrat einer Einheit. 



Die Bedingung, dafs die vollständige Norm N\p (w) nicht 

 durch Zwei theilbar sei, ist identisch mit der Bedingung, dafs der 

 erste Faktor der Klassenzahl der aus Xten Einheits wurzeln gebil- 

 deten complexen Zahlen nicht durch Zwei theilbar sei. Um dies 

 zu zeigen, verwandle ich den Ausdruck der complexen Zahl \//(w) 

 in folgender Weise: 



