vom 1. December 1870. 861 



ß" = — 1 und w u == + 1 



alle Coefficienten der einen den Coefficienten der andern congruent 

 sind, nach dem Modul 2, so folgt, dafs auch eine jede symmetri- 

 sche Funktion aller Wurzeln der Gleichung ß» = — 1 derselben 

 symmetrischen Funktion der "Wurzeln der Gleichung w u = 1 con- 

 gruent sein mufs, nach dem Modul 2. Es ist daher 



N^ (w) = N>1 (ß) = P' , mod. 2. 



Die Bedingung, dafs N-l (w) nicht durch 2 theilbar sei, ist also 

 identisch mit der, dafs der erste Faktor der Klassenzahl nicht 

 durch 2 theilbar sei. Der obige Satz läfst sich daher auch so aus- 

 sprechen : 



„Für alle diejenigen Primzahlen X, für welche der 

 „erste Faktor der Klassenzahl nicht durch Zwei theil- 

 (II.) „bar ist, ist jede complexe Einheit, welche mit ihren 

 „conjugirten nur positive Werthe hat, ein Quadrat einer 

 „Einheit. 



Hieraus ergiebt sich nun unmittelbar die Bedingung dafür, 

 dafs der zweite Faktor der Klassenzahl nicht durch 2 theilbar sei. 

 Wenn nämlich der zweite Faktor der Klassenzahl durch Zwei theil- 

 bar ist, so giebt es nothwendig eine Einheit E von der Art, dafs 



E* = £ 



.... e, 



— i 



i -> 



wo x, x 1 ...x lx _ l ganze Zahlen sind, deren eine gleich Null genom- 

 men werden kann, und welche nicht alle den gemeinschaftlichen 

 Faktor 2 haben. Wenn aber der erste Faktor der Klassenzahl 

 nicht durch 2 theilbar ist, so giebt es keine solche Einheit 



e e, 1 e 2 ' .... e,,*7 , 



welche mit allen ihren conjugirten positive Werthe hat, ein solches 

 Produkt von Potenzen von Kreistheilungseinheiten kann also nicht 

 ein Quadrat, also nicht gleich E 2 sein. Hieraus folgt: 



„Der zweite Faktor der Klassenzahl ist niemals durch 

 (III.) „Zwei theilbar, wenn nicht zugleich auch der erste 

 „Faktor der Klassenzahl durch Zwei theilbar ist. 



