864" Gesammtsitzung 



Um nun zu untersuchen, ob diese Einheit E(r,) ein vollständiges 

 Quadrat ist, oder ob nicht, reicht es hin von einer Congruenzbe- 

 dingnng nach dem Modul 4 Gebrauch zu machen, welche jede 

 complexe Zahl /(«) erfüllen mufs, wenn sie ein vollständiges Qua- 

 drat sein soll, nämlich die Bedingung 



/O) 2 — /(«') = 0, mod. 4. 



Wenn nämlich /(«) == c/>0) 2 ist, so ist /(«) = (p(a 2 ), mod. 2, 

 also /O) 2 = cK« 2 ) 2 , mod. 4, also auch /(«) 2 =/(« 2 ), mod. 4. 

 Damit Ü?(r/) ein Quadrat sei, mufs also E^) 2 — E(r iZ ) == ö, mod. 4, 

 sein. Die Ausführung der Rechnung ergiebt aber 



£(-<) 2 — E(y i3 ) = 2>7i + 2y u , mod. 4, 



also nicht =0. Die Einheit E(y) ist also nicht ein Quadrat; also 

 für X = 29 ist der zweite Faktor der Klassenzahl nicht durch 2 

 theilbar. 



Um noch ein zweites Beispiel dieser Art zu erhalten, habe 

 ich auch einige Primzahlen X im zweiten Hundert untersucht und 

 unter diesen X = 113 als eine solche gefunden, deren erster Fak- 

 tor der Klassenzahl durch 2 theilbar ist« 



Für X = 113 wird, wenn die primitive Wurzel 7 = 10 ge- 

 nommen- wird, e k negativ und folglich c k = 1 für folgende 29 

 Werthe des k: 



k = 1, 3, 4, 9, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 27, 30, 

 31, 34, 35, 36, 37, 39, 42, 44, 45, 46, 49, 50, 51, 53. 



Für die übrigen 27 Werthe des k ist c k = 0. Die Auflösung der 

 Congruenzen (C.) ergiebt nun folgende Werthe der Exponenten x: 



X k = 1 für ~k = 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 



1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50 



2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51 

 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54 



für die übrigen 24 Werthe des k ist x k = 0, mod. 2. Setzt man 

 nun 



