866 Gesammtsitzung 



stellt sich die Einheit, welche mit ihren conjugirten nur positive 

 Werthe hat, dar als 



Die Ausführung der Multiplikation ergiebt: 



E(y) = 12 — ri + Yl! +2y,2 4- r /4 — 4*j 6 . 



Wenn diese Etnheit ein Quadrat sein sollte, so müfste, wie im 

 vorigen Beispiele gezeigt worden, 



E(ry — J5(*j 3 ) = o, mod. 4 



sein; man findet aber 



E(r,y — E(y I3 ) = 2y, -+- 2r n 4- 2 vj 4 + 2r? 5 + 2>^ 6 , mod. 4. 



Es ist also E(y,) nicht ein Quadrat, und darum auch für X = 113 

 der zweite Faktor der Klassenzahl nicht durch Zwei theilbar. 



Nach dieser Methode läfst sich auch allgemein eine neue Be- 

 dingung dafür ableiten, dafs der zweite Faktor der Klassenzahl 

 durch 2 theilbar sei. Wenn dieser Fall statt haben soll, so mufs 

 es eine Einheit 



E(u) = «(«)%(«*)*' .... e(«^~ 1 ) V ~ 1 



geben, welche ein Quadrat einer Einheit ist, ohne dafs die Expo- 

 nenten x 3 x x ... x IJ ,_ 1 alle durch 2 theilbar sind, wenn einer der- 

 selben gleich Null genommen wird, wo e(a), e(a y ) .... e(a y ^-i) 

 die oben mit e, e x .... e, x _ l bezeichneten Kreistheilungseinheiten 

 sind, also 









«(«) 



= 



« y - 



-CT? 











Ci — 



a~ l 





Hieraus 



erhält 



man 

















e(«) 2 - 



•(«») 



a*y 



-+- cxT 



2y 



— 2 



p*y 





cC 



-2y 



« 2 



+ «- 



2 _ 



- 2 



« 2 



— 



Ci~ 



-2 





2 ((«»*— C ' 2y ){l — tt~ 2 ) — (a 9 — «~ 2 )(i— «~ ay )) 

 (« 2 4- «~ 2 — 2) (a 3 — a~ 2 ) 



also wenn gesetzt wird 



