#76 Gesammtsitzung 



folglich durch q theilbar sein mufs, für jeden der \x — l Werthe 

 des w. Die aus den Wurzeln to der Gleichung w*"~ l -f- w u ~*--\ 



+ «, + 1 = gebildete complexe Zahl 2 4 a? Ä tö* welche vermittelst 



o 

 dieser Gleichung auf den fx — 2ten Grad erniedrigt wird, kann 

 aber nicht für alle Wurzeln w congruent Null sein, nach dem Mo- 

 dul q, wenn nicht die p — 1 Coefficienten # — #„_,, .r 2 — a? M _ l5 ... 

 a? M _2 — a? M _i einzeln congruent Null sind, oder, was dasselbe ist, 

 wenn nicht die p Exponenten x,x l9 ... x, x _ x alle einer und der- 

 selben Zahl congruent sind, für welche man auch die Null nehmen 

 kann, weil man einen beliebigen derselben gleich Null setzen kann. 

 Also: 



„Wenn die Einheit 



„eine qte Potenz einer anderen, fundamentaleren Ein- 

 „heit ist, so dafs die Exponenten x, x x ...x ß _ 1 der 

 (V.) „Kreistheilungseinheiten nicht alle congruent Null sind, 

 „nach dem Modul q, wenn einer derselben = ge- 

 kommen wird, so mufs die complexe Zahl Y(w) einen 

 „complexen (idealen) Primfaktor von q enthalten und 

 „demgemäfs die vollständige Norm von ¥(w) durch q 

 „theilbar sein. 



Hieraus folgt sodann unmittelbar der Satz: 



„Eine ungrade Primzahl q kann nicht Theiler des zwei- 

 ten Faktors der Klassenzahl sein, wenn nicht die 

 (VI.) „complexe Zahl Y (w) einen complexen Primfaktor von 

 v q enthält, also die vollständige Norm von T(w) durch 

 „q theilbar ist. 



Wenn die für die Theilbarkeit des zweiten Faktors der Klas- 

 senzahl durch die Primzahl q nothwendige, aber nicht hinreichende 

 Bedingung erfüllt ist, dafs ¥(w) einen idealen Primfaktor von q 

 enthält, so kann der Fall eintreten, dafs dieser Primfaktor des q 

 in T(w) nicht für die primitiven Wurzeln w der Gleichung w u = 1 

 vorhanden ist, sondern für gewisse nicht primitive Wurzeln, wel- 

 che der Gleichung niederen Grades w ,m — 1 angehören, wo m ein 

 Factor von \x ist. Es sei \x = mm' und die Norm von Y(w'), für 



