vom 1. December 1870. 877 



alle primitiven Wurzeln der Gleichung w' m === 1 sei durch q theii- 

 bar, so zeigt die Congruenz 



m— i 

 ¥(w) .- k x k iv k = , mod. q, 

 o 



dafs für alle diejenigen Werthe des w, für welche ¥(w) keinen 



M-l 



complexen Primfaktor des q enthält, 2 k x k iu k congruent Null sein 



o 



mufs, nach dem Modul q. Es sind dies die Werthe des iu, wel- 

 che der Gleichung w mm ' = 1 genügen, ohne der Gleichung w m — 1 

 zu genügen, also die Werthe des w, welche der Gleichung 



^n in ' 



== l + w ,n -+- w' m H \- W v"'->j<" -= o 



,(/«' — «)'/« — 



genügen. Hieraus schliefst man, dafs 



> k z k w k = (1 -I- io' u -+- w 2 '" H r- w {m '- 1)m ) F{w) 





sein mufs, wo F(w) nur bis zum Grade m — 1 in w aufsteigt 

 und hieraus folgert man weiter, dafs 



X k = X k + m = X k + 2m E^ Xk+(ui>-i)m ? WJOd. £, 



sein mufs. Man hat daher folgenden Satz: 



„Wenn die complexe Zahl T(iü) nicht für die primiti- 

 - „ven Wurzeln w der Gleichung w'* = 1, sondern für 

 „die primitiven Wurzeln der Gleichung w m = 1, wo 

 5 ^u = mm\ einen idealen Primfaktor von q enthält, so 

 (VII.) „kann die fundamentalere Einheit, deren qte Potenz 

 „sich als Produkt von Potenzen der Kreistheilungsein- 

 „heiten ausdrücken läfst, nur die m Perioden von je 

 „2m' Gliedern der Wurzeln der Gleichung cc x = 1 ent- 

 halten. 



Ein einfaches Beispiel für den Fall, wo der zweite Faktor 

 der Klassenzahl nicht gleich Eins ist, ist /. = 229. Für diesen 

 Werth des a haben schon die aus den zwei Perioden von je 114 

 Gliedern gebildeten complexen Zahlen drei verschiedene Klassen, 



