884 Gesammtsitzung 



selbst gehören. Denn, wenn w, in seine Primfaktoren 

 zerlegt gleich: p a q® r y ... ist, so giebt es nach IL 

 Elemente 6' die zu p a , ferner Elemente ö" die zu q&, 

 Elemente S'" die zu r y etc. gehören, und das Produkt: 

 0'. 0". 0'"... gehört alsdann nach III. zu: j)". q & . r y ... 

 d. h. zu ?ij. 



Der hier mit ?i x bezeichnete Exponent ist der gröfste von al- 

 len, zu denen die verschiedenen Elemente 6 gehören; zugleich ist 

 n l ein ganzes Vielfache von jedem dieser Exponenten und es fin- 

 det demnach für jedes beliebige 8 die Äquivalenz: S n i co 1 statt. 



Gehört 0, zum Exponenten n u so läfst sich der Begriff der 

 Äquivalenz dahin erweitern, dafs zwei Elemente 6' und 6" als »re- 

 lativ äquivalent" angesehen werden, wenn für irgend eine ganze 

 Zahl k: 



0\ 0* co 6" 



ist. Das Äquivalenzzeichen co bleibt hier, wie im Folgenden, für 

 den früheren engeren Begriff der Äquivalenz reservirt. Sondert 

 man nun aus sämmtlichen Elementen 8 ein vollständiges System 

 solcher aus, die untereinander nicht relativ äquivalent sind, so ge- 

 nügt dasselbe den für das System sämmtlicher Elemente 8 oben 

 aufgestellten Bedingungen und besitzt daher auch alle daraus abge- 

 leiteten Eigenschaften. Es existirt also namentlich eine der Zahl 

 n v entsprechende Zahl n 2 , welche so beschaffen ist, dafs die ?z 2 te 

 Potenz eines jeden 8 relativ äquivalent Eins ist, und es existiren 

 ferner Elemente 0,,, für welche keine niedrigere als die n 2 te Po- 

 tenz der Einheit relativ äquivalent wird. Da für jedes Element 

 8 die Äquivalenz: 8 n i co 1 stattfindet und also a fortiori 8 n i auch 

 relativ äquivalent Eins ist, so mufs nach I. die Zahl n x ein Viel- 

 faches von n 2 sein. Ist nun 



und erhebt man die Ausdrücke auf beiden Seiten zur Potenz: 



n j k 



— , so erhalt man, wenn — == rn gesetzt wird, die Äquivalenz: 



C 1 <S> 1 



