vom 15. December 1870. 895 



dies daraus hervor, dafs die singulären Linien dieser Complexe, 

 wie schon angeführt, Doppeltangenten der Fläche sind. Weitere 

 Curven umfafst die Curve vierpunktiger Berührung nicht, da die 

 aufgezählten zusammen die richtige Ordnung, 80, besitzen. 



Wir müssen jetzt die Zahl der Durchschnittspunkte einer 

 Haupttangenten-Curve mit den 6 ausgezeichneten bestimmen. 



Diese Durchschnittspunkte sind dadurch characterisirt, dafs 

 die vierpunktig berührende Haupttangente eine Linie des Com- 

 plexes zweiten Grades ist, dem die gegebene Haupttangenten-Curve 

 zugehört. Die in den Punkten einer der 6 Curven vierpunktig 

 berührenden Haupttangenten bilden aber eine Linienfläche von der 

 8ten Ordnnng, da der vollständige Durchschnitt derselben mit der 

 Kummerschen Fläche aus der gewählten Curve besteht, welche 

 vierfach zählt. Mit einer solchen Fläche hat aber der Complex 

 zweiten Grades 16 Linien gemein. Man erhält also, jeder der 6 

 Curven entsprechend, 16 Durchschnittspunkte. Wir haben somit 

 den Satz: 



Die Haupttangenten-Curven haben 6.16 = 96 statio- 

 näre Tangenten. 



Fügen wir noch hinzu, dafs die Haupttangenten-Curven kei- 

 nen wirklichen Doppelpunkt und also auch keine wirkliche Dop- 

 pel- Osculationsebene besitzen können, da in keinem Punkte der 

 Kummer'schen Fläche, der nicht auf der parabolischen Curve liegt, 

 die beiden Haupttangenten demselben Complexe als singulare Li- 

 nien angehören, so können wir die sämmtlichen Singularitäten der- 

 selben , von denen die dualistisch entgegenstehenden gleich sind, 

 ohne Weiteres bestimmen. Insbesondere finden wir: den Rang 

 = 48, die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte = 72, die Ordnung 

 der Doppelcurve der Developpable = 952, das Geschlecht =17. 



5. Für die 6 ausgezeichneten Haupttangenten-Curven wird 

 die Zahl der Spitzen und stationären Osculations- Ebenen gleich 

 Null. Eine solche Curve geht nämlich durch jeden der Doppel- 

 punkte einfach hindurch und hat in ihm eine der 6 ihn enthalten- 

 den Doppeltangentialebenen zur Osculationsebene. Man hat sich 

 den stetigen Übergang zwischen den allgemeinen Curven und die- 

 sen besonderen so vorzustellen, dafs die letzteren doppelt zählen 

 und aus der Vereinigung je zweier in einer Spitze zusammen- 

 stofsender Zweige der übrigen entstanden sind. Darum sinkt 

 Ordnung und Classe auf die Hälfte. Hiernach müfste auch 



