MATHÉMATIQUES. 139 



Envisageons une équation aux dérivées partielles, telle que : 



5ï /'orc, pea* trouver quatre solutions u, v, w, p, frees par k rela- 

 tion : 



les équations : 



u v w 



P J P P 



définiront un système de lignes sphériques orthogonales , et la surface 

 la plus générale y dont les lignes de courbure ont ce système pour image 

 sphérique, sera l'enveloppe du plan : 



ux + vy + wz + P = o , 



oà P est l'intégrale générale de l'équation (e). 



Après avoir montré que l'application du théorème à l'équation 



conduit au système orthogonal mentionné au début, l'auteur rat- 

 tache ce résultat au théorème suivant : 



Si l'on peut déterminer les surfaces ayant une représentation sphé- 

 rique donnée, on saura aussi déterminer sans intégration nouvelle les 

 surfaces ayant pour représentation sphérique celle qu'on déduit de la 

 précédente par une inversion quelconque. 



Voici la construction géométrique qui permet de réaliser l'ap- 

 plication de ce dernier théorème : 



Soit O le pôle d'inversion , P son plan polaire par rapport à 

 la sphère (S); on suppose que cette dernière se correspond à elle- 

 même, et on envisage le plan tangent 7r à une surface 2,1e point 

 M où la sphère est percée par la perpendiculaire au plan 7r issue 

 du centre G de la sphère, et l'inverse M' du point M; le plan mené 

 par la droite d'intersection des plans P et tt perpendiculairement 

 à C M' enveloppe une surface 2' dont l'image sphérique est l'in- 

 verse de l'image sphérique de 2. 



En terminant, M. Darboux indique la généralisation suivante de 

 la représentation sphérique de Gauss : 



