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On envisage une sphère mobile (U) tangente à une surface (2) 

 et à une sphère fixe (S). 



Quand le point de contact de (U) et de (2) décrit une ligne de 

 courbure de cette surface, le point de contact de (U) et de (S) dé- 

 crit la ligne sphérique correspondant à la ligne de courbure. 



Les lignes sphériques qui correspondent ainsi aux deux systèmes de 

 lignes de courbure se coupent à angle droit. 



Sur la représentation sphérique des surfaces , par M. G. Dar- 

 boux. [Comptes rend. Acad. des sciences, 8 et i5 mai 1882.) 



Ces deux notes font suite à deux notes précédentes présentées 

 en janvier 1882. M. Darboux y démontre que : 

 Etant donnée une équation aux dérivées paHielles : 



(e) __- = Ar — ^-Bc--r-cz 



où A, B, G sont des fonctions quelconques de p et de p Y , si l'on sup- 

 pose qu'on connaisse quatre solutions particulières liées par une rela- 

 tion homogène du second degré, on pourra toujours, par une combi- 

 naison linéaire des solutions, ramener la relation quadratique à la 

 forme 



u 2 -\-v 2 -\-w 2 =p' 2 . 



Cela posé, les équations : 



u v Iw 



x ~y 7 ~y z ~fp 



définissent toujours un système orthogonal formé des courbes 

 p = c, p 1 = c l 



De plus, si désigne une solution nouvelle quelconque de l'équation 

 (e), le plan 



uK -j- vY -j-' w2a -j- 6 = o 



enveloppera, quand p et p 1 prendront toutes les valeurs possibles, une 

 surface dont les lignes de courbure auront pour image sphéiique les 

 lignes du système orthogonal précédent. 



Les applications de ce théorème sont nombreuses. 



