MATHEMATIQUES. 141 



SiZ 1= = A 1 B 1 ,Z 2 =A 1 B 2 ,Z 3 = A 2 B x , Z 4 = A 2 B 2 (où A 1 A 2 

 sont des fonctions d'une seule variable vérifiant une même équation 

 linéaire de second ordre, et de même B x , B 2 ) sont quatre solutions 

 de l'équation (e), on a évidemment z 1 z lL ==z 2 z 3 , ce qui permet 

 d'appliquer le théorème fondamental. C'est le cas de l'équation 



^ a t^=-'[/(«+^)-<?(«-^)> 



Si P x et P 2 vérifient l'équation 

 (?) P" = P[/f a + */3) + m] 



et Qj et Q 2 l'équation : 

 on peut prendre : 



a==P 1 Q 2 rf-P 2 Qi, to = P 1 Q,-P 2 Q 2 



^«(P^-PjQs) P = P 1 Q I +P 2 Q 2 



Un cas intéressant est celui où f et (p sont conjugués, ainsi que 

 Pj et Q x , P 2 et Q 2 . Le système correspondant est alors réel et iso- 

 therme, il suffit pour le connaître d'avoir f(a -\- ifi) -J- m et deux 

 solutions Pj, P 2 de l'équation 



(g) y"=y(f( x ) + m )- 



M. Darboux dit de tous les systèmes ainsi obtenus qu'ils cor- 

 respondent à l'équation (g). Il est remarquable qu'ils se déduisent 

 tous les uns des autres par des inversions. 



L'étude de l'équation particulière : 



ù 2 z _ — 77i (m + i) 



ïfiïr (p- Pl )» z 



conduit l'auteur à la conclusion suivante : 



On saura trouver toutes les surfaces ayant pour représentation sphé- 

 rique les systèmes isothermes correspondant aux trois équations : 



, pn(m+i) _ 1 



y" =y [m (m-)- î) k' 2 sn-x — /i 2 ]. 



