MATHÉMATIQUES. 317 



M. Poincaré énonce quelques propositions qui découlent immé- 

 diatement des définitions précédentes, et applique ces considé- 

 rations aux formes quadratiques quelconques, ainsi qu'à la forme 

 cubique binaire. G. K. 



Sur les puissances et les racines de substitutions linéaires. 

 par M. Sylvester. [Comptes rend. , t. XGIV, p. 55.) 



Les lois de combinaisons des déterminants de substitution dif- 

 fèrent de celles des déterminants absolus. 



Le transversal d'un déterminant est le déterminant obtenu en 

 faisant subir au déterminant proposé une demi -révolution autour 

 de la diagonale. D'après cette définition, l'inverse d'un détermi- 

 nant de substitution est le transversal de l'inverse du déterminant 

 absolu. 



Le produit de deux déterminants de substitution A et B s'ob- 

 tient en multipliant le transversal de A par B; le transversal du 

 produit, obtenu sous forme de déterminant suivant les règles or- 

 dinaires, est le produit des substitutions A et B. 



En ajoutant à chaque terme de la diagonale d'un déterminant 

 le terme — À , on forme une fonction de À dont les racines sont 

 appelées par M. Sylvester les racines lambdaïques du déterminant 

 donné : 



i° Les racines lambdaïques de l'inverse d'un déterminant sont les 

 réciproques des racines lambdaïques du déterminant lui-même ; 



2° i étant un nombre entier positif, les i èmes puissances des racines 

 lambdaïques d'un déterminant de substitution sont identiques avec les 

 racines lambdaïques de la puissance i ème du déterminant; 



3° i étant une quantité commensurable quelconque , les i èmes puis- 

 sances des racines lambdaïques d'un déterminant de substitution sont 

 identiques avec les racines lambdaïques de i cme puissance du détermi- 

 nant. 



Ces considérations conduisent à la solution du problème qui 

 consiste à extraire la racine f me ou trouver la puissance i cmc d'une 

 substitution donnée, i étant un nombre commensurable quelconque. 



