MATHÉMATIQUES. 319 



Sur quelques équations transcendantes, par M. Laguerre. 

 (Comptes rend., t. XCIV, p. 160.) 



La note de M. Laguerre a trait à une des questions les plus 

 dignes d'intérêt de l'analyse, à l'extension des propriétés des fonc- 

 tions entières algébriques aux fonctions entières transcendantes. 

 La décomposition en facteurs primaires sert de point de départ à 

 l'auteur, et il établit tout d'abord une distinction importante parmi 

 les fonctions transcendantes holomorphes. Il appelle transcendantes 

 du genre un celles dont les facteurs primaires sont de la forme 



X 



a ( x\ 

 et dont le type général est 



X ... 



ax f-f Ctf x\ 



e Ue (1--) 



Par contre, le genre est dit égal à zéro si les facteurs primaires 

 ne contiennent pas d'exponentielle. 



L'auteur se borne au cas où la transcendante holomorphe du 

 genre un F (x) a toutes ses racines réelles. 



Les dérivés de F (x) sont des transcendantes holomorphes du pre- 

 mier genre dont tous les zéros sont réels. 



En désignant par œ une quantité réelle quelconque, et posant 



F{x+coi)=\J + iV, 



l'équation ÀCJ-j-^V = oa quelles que soient les quantités réelles À 

 et yi toutes ses racines réelles. Si on développe F (x) par la for- 

 mule a -\-a 1 x-\-a 2 x 2 -\~. . . on a 



2 71 + 1 ^ 



M. Laguerre montre comment ces propositions trouvent une 

 application clans la fonction G (x) inverse de la fonction V (x) de 

 Legèndre, et que M. Weierstrass a le premier considérée. 



