= Ç<d{xy)dx 



MATHEMATIQUES. 321 



à x par une équation algébrique de degré m et de classe p, 

 F (xy) = o. 



L'auteur s'appuyant sur la formule de décomposition en élé- 

 ments simples d'une fonction rationnelle de x et de y, formule 

 donnée par Roch, étudie le cas où l'équation (1) admet une inté- 

 grale de la forme 



(2) z = e 



où (p (x y) est une fonction rationnelle de x et de y. 



Lorsque p = o on ramène aisément l'équation (1) au type 



(3) g-/m« 



où f(l) est une fonction rationnelle de i; et alors si (1) admet 

 l'intégrale ( 2 ) , ( 3 ) admet l'intégrale 



où ts [t) est rationnelle en t; et réciproquement. 

 Lorsque p = 1, l'équation (1) se ramène au type 



(5) frW 2 



où O (t) est une fonction doublement périodique, et si (1) admet 

 l'intégrale (2), (5) admet l'intégrale 



(6) z = e$*$% 



où 7T [t) est une fonction doublement périodique, aux mêmes pé- 

 riodes que <ï> ; et réciproquement. 



On arrive ainsi à intégrer une nouvelle classe d'équations diffé- 

 rentielles linéaires du second ordre à coefficients doublement pério- 

 diques , dans des cas où l'intégrale peut n'être pas uniforme et 

 avoir des points singuliers essentiels. D'ailleurs l'auteur fait ob- 

 server que sa méthode s'étend à des équations plus générales du 

 d k z • 



l yp e af ="??■+ tert** 



H termine par la remarque suivante: 



Soit une équation différentielle linéaire dont les coefficients 

 sont des fonctions rationnelles de x et de y, où x et y sont liés par 



