MATHÉMATIQUES. 323 



question qui consiste à déterminer des contours fermés à l'inté- 

 rieur desquels on sache compter les racines que possède une équa- 

 tion donnée. 



L'auteur part de la proposition suivante qu'il a établie ailleurs : 



Soit/(a?) un polynôme du degré n et posons 



2 {n-i)f[x) 



A. ' X — 7^7-7 : 



./ («) 



Si M' est l'affixe de X pour x = Ç-f- iy\, où £ -f- 1V7 est une ra- 

 cine de/ (aï), et que par l'affixe de cette racine on fasse passer 

 un cercle (ou une droite) tel que l'une des régions du plan déter- 

 minées par ce cercle ne contienne aucune racine de l'équation , le 

 point M' est nécessairement dans l'autre région. 



Ce théorème trouve une heureuse application dans le polynôme 

 / (x) d'ordre n qui vérifie l'équation : 



x f" (f ) — \$ + i n )f' i x ) + n fP) = o. 



Pour lui, en effet, 



,. #(#+2) 



in -\- x 



• On peut appliquer la méthode à l'équation dont le premier 

 membre est le polynôme hypergéométrique qui vérifie l'équation 

 de second ordre : 



x (1 — x)y"-\- j [n — 1 — a) x-\- fi — n-\- 1 \ y' -\-nay = o. 



SUR LES DIFFÉRENTIELLES SUCCESSIVES DES FONCTIONS DE PLU- 

 SIEURS VARIABLES ET SUR UNE PROPRIETE DES FONCTIONS AL- 

 GEBRIQUES, par M. Darboux. (Comptes rend. Acacl. des sciences, 

 t. XGIV, p. 5 7 5.) 



Dans une note précédente (26 décembre 1881) l'auteur a classé 

 en trois catégories distinctes les fonctions de (x variables pour les- 

 quelles la différentielle d'ordre (ft+i) est divisible par celle 

 d'ordre n. 



Soit f (z, x } , # 2 , . . . x ) = o, une équation d'ordre m en 



