MATHÉMATIQUES. - 39:5 



v = a 



ner F,(x) de sorte que 2 F v [x) soit convergente, et, de plus, 



v = 1 



de trouver la fonction holomorphe G (a?). 



La théorie des résidus fournit à l'auteur la solution de ce pro- 

 blème. 



A cet effet, il entoure d'un contour S simplement connexe le 

 point o, x, _a 1 , « 2 , ... a„, et il intègre le long de ce contour; il 

 trouve 



riiî}(*y dz= failli (*y dz 



J z—x \z J J z-x \Z J 



+ jm m g)-* +r f«) ip x g)-^ 



l'intégrale Jî étant prise le long d'un cercle infiniment petit en- 

 tourant le point J. 



L'étude des diverses intégrales qui figurent dans cette égalité et 

 leur calcul direct conduisent à la formule 



F(x) = G(x) + V Vf,(x) + -^- Ç^tlÉ (^Ydz. 

 v==1 wrj z-x \zj 



Si maintenant l'intégrale qui figure dans le second membre tend 

 vers zéro lorsque l'on agrandit le contour indéfiniment, on aura 

 précisément la formule cherchée. 



Sur l'intégration des équations différentielles par les 

 séries, par M. H. Poincaré. [Comptes rend. Acad. des sciences, 

 t. XGIV, p. 5 77 .) 



L'auteur se propose d'intégrer les équations différentielles par 

 des séries qui soient convergentes pour toutes les valeurs réelles de 

 la variable. 



On ramène d'abord les équations différentielles algébriques au 

 type 



dx l dxc, dx n _ ds 



X ~ X ~ X ~° xv+TT+xvPT' 



où Xi est un polynôme entier en x i , ,r 9 , x n . 



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