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priétés un énoncé, une forme, où le choix des coordonnées n'in- 

 tervienne pas. 



Ainsi, pour une surface, on peut définir les propriétés infinité- 

 simales du premier ordre en disant que toutes les tangentes en un 

 point sont dans un même plan : cet énoncé est lié à la notion 

 d'une catégorie particulière de surfaces que les coordonnées curvi- 

 lignes ne donnent plus. Mais si Ton dit que tous les déplacements 

 effectués sur la surface sont orthogonaux à un même déplacement, 

 on arrive à un énoncé que l'expression du carré de la distance 

 élémentaire permet de traduire dans des coordonnées quelconques. 



Cette idée a été développée pour la première fois par Gauss 

 dans ses recherches sur les surfaces : elle a été le point de départ 

 de recherches profondes de Riemann et de divers géomètres. Cette 

 idée consiste, on le voit, à rapporter l'espace ponctuel à une forme 

 quadratique des différentielles. 



L'espace réglé offre également une forme quadratique qui con- 

 stitue en quelque sorte un invariant pour tout déplacement élé- 

 mentaire de la droite, et dont l'évanouissement exprime la ren- 

 contre de deux droites infiniment voisines. L'involution de deux 

 déplacements équivaut à l'orthogon alité de l'espace ordinaire et 

 conduit à des énoncés presque identiques pour les propriétés infi- 

 nitésimales. L'interprétation géométrique conserve le caractère que 

 lui imprime la nature même de l'élément, mais les formules sont 

 les mêmes. Il y a là un fait qui se rattache aux transformations 

 géométriques que M. Lie a présentées sous le nom de transfor- 

 mations de contact et qui jouent un rôle si important dans les 

 équations aux dérivées partielles. 



Nous n'entrerons pas dans le détail de la méthode grâce à la- 

 quelle les principes généraux ci-dessus exposés ont pu être rendus 

 applicables. L'idée de Gauss est générale, elle domine la géomé- 

 trie, et son extension à des éléments quelconques conduira cer- 

 tainement à d'intéressants résultats. 



