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Etude géométrique des surfaces dont les lignes de cour- 

 bure DUN SYSTÈME SONT PLANES; THÈSES PRÉSENTÉES À LA 



Faculté de Montpellier, par M. Victor Rouquet. (Tou- 

 louse, Douradour-Privat, 1882, in-/i .) 



C'est Monge qui a posé le premier le problème des surfaces à 

 lignes de courbure plane. Dupin Ta résolu dans un cas particulier, 

 et Joachimsthal a donné un théorème qui domine toute cette 

 théorie. Depuis, d'éminents géomètres ont apporté leur contribu- 

 tion à Tétudede cette intéressante question. Ce sont, entre autres, 

 MM. Serret, Bonnet, Picart, Lemonnier, Darboux et Ribaucour. 



C'est dans l'étude des surfaces ayant une représentation sphé- 

 rique donnée que MM. Darboux et Ribaucour ont trouvé la clef 

 d'une méthode générale applicable en particulier au problème 

 dont il est ici question. 



Une fois l'image sphérique connue, il suffît d'intégrer une 

 équation aux dérivées partielles du second ordre spéciale pour 

 obtenir toutes les surfaces; et l'on doit à M. Darboux l'importante 

 remarque que, dans un nombre illimité de cas, les intégrales 

 s'obtiennent par des quadratures : parmi ces cas se trouve celui 

 qui est relatif au problème abordé par l'auteur. 



Mais M. Rouquet s'est arrêté à ce fait de la difficulté d'obtenir 

 explicitement les trajectoires orthogonales d'un réseau sphérique, 

 et, sans demander davantage à l'analyse, a cherché dans une 

 étude directe une méthode qui lui permît de présenter la solution 

 du problème sous une forme géométrique. 



Les résultats dus à M. Ossian Bonnet servent de guide à 

 fauteur. Sa méthode consiste à utiliser la surface enveloppe de 

 sphères la plus générale, en s'appuyant sur ce fait qu'étant donnée 

 une surface, dont les lignes de courbure d'un système sont planes, 

 il existe une infinité de surfaces enveloppes de sphères ayant la 

 même image sphérique que la première, et dont les cercles de 

 courbure sont situés dans les mêmes plans que les lignes de 

 courbure de la proposée. 



Cette remarque fournit une solution particulière de l'équation 

 du problème. L'auteur utilise aussi ce fait important que les 



