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Si, au lieu de R (j), on prend une fonction uniforme et mono- 

 gène f(x), ayant dans un domaine fini un nombre limité de 

 points singuliers et soumise aux conditions 



f (œ -\- 2w) = (xf [x] , f(x+2w') = [i'f{x}, 



IV 



où w, fi, iu\ fi sont des constantes telles que — ne soit pas réel 

 et qu'on ait mod. (à < 1, mocl. w ;2 1, on obtient une formule ana- 



oo 



logue F [x) = G [x) -j- "\ F v (x), et celte dernière fournit, pour 



i 

 les fonctions doublement périodiques n'ayant qu'un nombre 



limité de singularités dans un domaine fini, des développements 

 analogues à ceux de M. Gylden pour iz cotg7z\r. 



2° Visant toujours le théorème général publié dans les Comptes 

 rendus du i3 février 1882 , M. Mittag-Lefller se propose de mon- 

 trer qu'il est le fondement d'une théorie très générale. 



Pour y arriver, réminent analyste entre dans les considérations 

 profondes relatives aux points singuliers que M. Caritor et 

 M. Weierstrass ont soulevées les premiers. 



Désignons par P le nombre de valeurs formé par l'ensemble des 

 valeurs singulières distinctes d'une fonction F (a?) uniforme et mo- 

 nogène. étant un nombre de valeurs appartenant à P, l'auteur 

 appelle valeur limite à une valeur telle qui! y ait 'dans chaque 

 voisinage de cette valeur d'autres valeurs qui appartiennent à Q. 

 M. Weierstrass ayant démontré que chaque nombre infini de va- 

 leurs Q a au moins un point limite, on appellera P l'ensemble des 

 valeurs limites à un nombre infini P de valeurs. Si P' est infini, P " 

 sera l'ensemble des valeurs limites à P', et ainsi de suite. Si P^ est 

 un nombre fini de valeurs, on posera P^' + 1 ^==o. Dans la suite 



P, P', P", , chaque nombre de valeurs embrasse le nombre 



de valeurs suivant, et en passant de P à P', de P' à P", . . . . , on 

 perd les nombres de valeurs P — P', P' — P", etc. De deux choses 

 l'une: ou bien P( r ) est nul pour une valeur convenable n de r, et 

 alors on dit que P est du premier genre et de n ûme espèce ; ou bien 

 PM n'est jamais nul, la suite est illimitée et P est dit du second 

 genre. 



Cela étant, soit P du premier genre et de la n lème espèce; soit 



