Ô14 SCIENCES MATHEMATIQUES. 



II 



ANALYSE. 



Sur les fonctions fvgesiennes, par M. Poincaré. [Comptes 

 rend. Acad. des sciences, 1882, t. XCV, p. 626.) 



Soit H i'z) une fonction rationnelle, ( Z, ' l * , y ) une substitu- 

 tion d'un groupe fuchsien, m un entier supérieur à l'unité, le 

 quotient de deux expressions telles que 



(où m conserve la même valeur) est une fonction fuchsienne. La 

 réciproque est-elle vraie? 



Toutes les fonctions fuschsiennes ( de même groupe) s'expriment 

 rationnellement, à l'aide de deux d'entre elles, x et y, entre les- 

 quelles a lieu une relation algébrique, en sorte que toute série 

 telle que (1) peut être mise sous la forme 



dx y 



ai (S) m JEte.y), 



où F (#, y) est rationnel en x et y. Réciproquement, toute fonc- 

 tion (2) peut-elle prendre la forme (1)? 



L'auteur trouve que toute fonction fuschsienne n'existant qu'à 

 l'intérieur du cercle fondamental peut, d'une infinité de façons, 

 s'exprimer par le quotient de deux fonctions telles que (z). Les 

 résultats qu'il obtient sont applicables aux fonctions fuchsiennes 

 quelconques. 



