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2 e L'intégrale définie 



oo 



¥{z)e**dz 



f: 



prise le long d'une droite d'argument tel que pour z = oo on ait 

 lim. e zx = o, définit une fonction <I> (-) holomorphe en x sauf 

 pour x = o , c'est-à-dire une fonction entière de - • 

 3° La fonction F(#) peut se mettre sous la forme 



P?ï^ 



où O(z) est une fonction entière, l'intégrale étant prise suivant 

 un contour entourant l'origine. 



4° F [x) peut être représentée par la série d'Abel dont s'est 

 occupé M. Halphen dans le Bulletin de la Société mathématique de 

 France. 



Ces propriétés ne sont pas exclusives; elles appartiennent aussi 

 à des fonctions du genre i, par exemple, à 



11 V^nHo^n) 



log 2 



n = î 



et plus généralement à la fonction 



m-êy 



lorsque, la série 2— étant divergente, la limite de — est finie 

 pour n infini. 



Des considérations analogues sont applicables aux fonctions du 

 genre î. 



Il suffit, dans le numéro 1, de remplacer e ax par e axn+1 , et, dans 

 le numéro 2, e zx par £(*•)*+ \ 



Alors, si on pose F [x) =2A p a/, a étant le plus grand entier 



contenu dans , , on aura 



n+ î 



lim. A p a l = o 

 pour p = oo ; 



lim. ApV / (p') ==0 



