ANALYSE. 693 



pour p = oo, et la série 



est une fonction entière. 



Enfin, on peut mettre F (a?) sous la forme 



/x\n-\-i /x\ n + i 



J z ï_i 



z 



où O (z) est une fonction entière, et l'intégrale étant prise le long 

 d'un contour entourant l'origine. 



Sur une équation linéaire aux dérivées partielles, par 

 M. G. Darboux. (Comptes rend. Acad. des sciences, 1882, 

 t.XGV, p. 69.) 



Il s'agit de l'équation 



F — _ m (* ~ m ) 7 



^'dxTy" (x-yf 

 qui a occupé Euler, Lagrange, Lapïace, Poisson et Riemann. 



M. Darboux a remarqué qu'une substitution linéaire ( t, j 



effectuée à la fois sur x et y laisse l'équation invariable. Si donc 

 <p (aï, y) est une solution, il en est de même de 



/ mx+n my + n \ 

 V\px + q' py+q ) 



\px + q py+q 

 Par la même raison , 



xd* dy' dx * J dy ' dx ~ rj dy 

 seront des solutions. Mais il existe une seconde propriété 

 qu'on peut étendre à l'équation 



Soit Z m une solution de E m , l'expression 



dZ m dZ m n Z m 

 2m 



dx dy " x — y 

 est une solution de l'équation E m+1 , obtenue en changeant m en 

 (m-}- 1) dans Téquation E m . 



