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L expression Vw = — V-^ ; r , a cause de la relatiom(i), vérifie 

 l'équation 



^ + c-o^^ + sln^^ + 2COt g 2a ^ + 72 (^+ 2 ) V = - 

 Comme V est une fonction entière du degré /i en cos <p, on a : 

 VW = RW + 22 RW cos i (x - *') + '-À RW cos * (y -/) 

 + 42 2 R:*J cos i (a; — a?') cos & (y — y'). 

 La quantité R.^ est une fonction de u qui vérifie l'équation : 



^ h d B ^ [_ l T ; cos 2 a sïri 2 ttj ". »* ' 



qui, en posant R £ ( '° = (cos a)' : (sin u) k Sf* 1 , et t= (sin w) 2 , donne 



où «3^ /3^ j+^ff , 7 = * + i; on a donc 



Comme a est un entier négatif, S^ est une fonction e/iftere de 

 sin 2 u. On a finalement : 



R H = c "* (cos u cos a') 1 (sin u sin u')* ^ (a, |3 f 7, sin 2 a) § (a, |3, y, sin 2 a). 



La quantité numérique c n fc s'obtient en faisant u=u, sin 2 u=£. 

 En comparant alors les termes on arrive au développement 



( cos y — cos x) n = 2 2e? fc cos ix cos frj, 



qu'on peut obtenir directement en exprimant les e* k par des inté- 

 grales définies. 



Pour retrouver la formule de M. Tisserand, il suffit de faire 



1 T 



u = u =-J, x =o^j =0. 



ExTÈNSÏON DU PROBLÈME DE RlEMANN À DÉS FONCTIONS HYPER- 

 GÉOMÉTRIQUES DE DEUX VARIABLES, par M. E. GoURSAT. 



[Comptes rend. Accid. des sciences, 1882, t. XGV, p^ 90 3.) 

 En abordant le problème de Rieman relatif aux fonctions hy- 



