ANALYSE. S73 



pergéom étriqués clans le cas des fonctions de deux variables, 

 Mi Picard est tombé sur la fonction F 3 (a, /S, f3', y,x,y), trouvée 

 par M. Appell [Annales de l'Ecole normale, 1881). Les fonctions F 2 

 etF 3 de M. Appell sont aussi susceptibles de la même extension. Il 

 existe, en effet, une fonction multiforme z de x et de y jouissant 

 de propriétés analogues à celles qui caractérisent la fonction hy- 

 pergéométïique aux environs des points (o, 1,00), et de plus, 

 qui, pour j = const. = c, vérifie l'équation du quatrième ordre 

 suivante : 



x 2 [x - 1) [x rf^)^-h £( ?? - cl - P + ty(x-i){x-c) 



]d 3 z 

 -A 



+ [[(à+/34-3) ; r- y -i]x[(«^+3)a;4-(a' + /3'- 7 -i)c] 



+ x{x — c)( 2 a/3+3a— ' 3^ + 5) 



+ (c-i)(«+i)(j8+ij*+«'i8'c]g 



+ ( a 4-l)(/S+l)[(2 a +2^+2)^+( a ' + /S'- 7 -l)c- 7 ]g 



En supposante constant, on tombe sur une équation analogue 

 en y. Ces résultats s'accordent avec ceux auxquels est arri\é 

 M. Appell. D'ailleurs la méthode suivie conduit à la solution la 

 plus générale. 



Sur le développement des fonctions des séries, par M. Hu- 

 goniot. (Comptes rend. Acad. des sciences, 1882, t.- XCV, 

 p. 907.) 



Si la fonction (p [x) est donnée entre x — -\-i et x = — 1, on 

 peut la développer à l'aide des polynômes de Legendre. Si on se 

 borne à la somme des n premiers termes, on a un polynôme 

 d'ordre n tel que le carré moyen des différences entre la fonction 

 et le polynôme soit, entre les limites =b 1, moindre que pour tous 

 les autres polynômes du degré n. Cette proposition, due à M. Plarr, 

 est susceptible d'extension^ 



