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Soit <p[x), une fonction dont les valeurs sont données entre a 

 et (3 et finie entre ces limites. Soient aussi les (zi+ 1) fonctions 

 de x; z , z l ... z n telles que 



T. 



z k z k 'dx=o (kdpk'), 



a 



et posons 



B h = f^z\dx. 

 Dans la différence 



X = Ç{x)-(hXV^k "... A n Z n ) 

 on veut déterminer les A de sorte que l'intégrale 



S = ^- f^&dx 



soit minimum. 

 On trouve alors 



A k = ^f^Z k Ç(x)dx, 

 et pour S, l'expression 



S-j^(/f [?(*)]' «k-B.A.'-BiV ... B„A„ 2 ]. 



S est la différence entre le carré moyen des valeurs de la fonc- 

 tion et la somme des carrés moyens des termes tels que A*, Z k . 

 En supposant n infini, l'auteur arrive à ce résultat que la con- 



oo 



dition nécessaire et suffisante pour que la série ^ A;X; repré- 



oo 



sente ${x), c'est que la série ^. A t -B* soit convergente et ait 



c 



une somme égale à l'intégrale définie j [Ç> [x)~\ 2 dx. Dans une 



communication postérieure, M. Halphen a donné un exemple 

 pour lequel celle proposition tombe en défaut. 



