ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. U9 



bien déterminée du potentiel des vitesses, les quatre e'quations si- 

 multane'es 



/(^)=/iK) + C, 



x-\- iy =z^ X — iy = z^^ 



Ç + C, = F-2/(^)/,>,). 



D'une manière géne'rale, on pourra se donner f^{z^) ipar exemple, 

 puis éliminer z^ entre la première et la dernière de ces quatre 

 équations ; on parviendra à une équation différentielle dont la réso- 

 lution permettra de déterminer /( 2;). Sif^{z) n'est pas bien choisi, 

 le procédé ne fournira que des surfaces libres imaginaires. Aussi 

 l'auteur en indique-t-il un autre. 



Il fait d'abord une restriction (qu'il lève plus tard), en suppo- 

 sant que/ et /j représentent la même fonction; puis il substitue 

 aux deux variables z et z^ les deux variables w , w-^^ définies par les 

 équations 



f(z) = w, f(z^) = w,, 

 ou inversement 



Si les forces extérieures se réduisent à la pesanteur, F a la 

 valeur gx; et, si l'on pose 



P, + C, = -k, 



les quatre équations qui définissent la surface libre deviennent 



w = Wj-|-G, 

 z = x + iy = x{w), 

 » [ z^ = x — iy=^x{^)-> . 



=gx-\-l = \{x(p)Arx{w^)'\-^]i. 



Par l'élimination de w^, la dernière se transforme en 



Le problème est ramené à la détermination d'une fonction y^ 

 satisfaisant à cette dernière relation. 



