ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 581 



Sur quelques points de la théorie des fonctions, par M. Borel. 

 (Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. GXVIII, 189^, p. 3^0-342.) 



L'auteur considère les fonctions (^[z) représentées par une série 

 de la forme 



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?w=i: 



{z — a^y 



dans laquelle les a sont des entiers limités et les A des quantités 

 telles que la série 2A,i soit convergente. On suppose que les points a, 

 dans le voisinage desquels se trouve une infinité de points A, for- 

 ment au plus des lignes, et que les points a, non situés sur ces 

 lignes, sont isolés ou ont des points limites isolés. 



Les fonctions ainsi définies possèdent certaines des propriétés 

 les plus importantes des fonctions analytiques , considérées comme 

 un ensemble de développements de Taylor. Notamment, si de telles 

 fonctions (p[z) sont liées par une relation algébrique vérifiée pour 

 tous les points d'une aire S, cette relation est identique et par 

 suite vraie en tous les points où les séries sont convergentes. On 

 peut dès lors convenir que les séries ^{z) représentent la même 

 fonction en tous les points oii elles convergent; cette définition n'est 

 jamais en contradiction avec celle du prolongement analytique au 

 moyen de la série de Taylor. Ceci semble incompatible avec un 

 résultat singulier obtenu par M. Poincaré, mais M. Borel montre 

 que la contradiction n'est qu'apparente. 



L'auteur envisage ensuite une série 9(^)' ^^ supposant seule- 

 ment que la série 2|v/A„| soit convergente. Soient P et Q deux 

 points qui ne coïncident ni avec un point a ni avec un point a li- 

 mite des points c^, et S une aire simplement connexe comprenant, 

 à son intérieur, les points P et Q. Il est possible de tracer une infi- 

 nité non dénombrable de courbes comprises entièrement a l'intérieur 

 de S, joignant les points P et Q, et telles que sur chacune de ces 

 courbes la série soit uniformément convergente et représente par 

 suite une fonction continue. 



M. Borel termine par des considérations sur les fonctions d'une 

 variable réelle, admettant dans un intervalle des dérivées de tout 

 ordre (sans être pour cela développables en une série de Taylor). 



Il montre qu'une telle fonction peut être représentée dans tout 

 cet intervalle par la somme d'une série de puissances et d'une série 



