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de Fourier, telles que les dérivées de tout ordre de la fonction s'ob- 

 tiennent en dérivant les séries terme à terme. 



Enfin , on peut toujours trouver une fonction de variable réelle 

 avant des dérivées de tout ordre dans cet intervalle donné et telle 

 que ses dérivées aient des valeurs données quelconques pour un point 

 de rintervalle. 



Sun UN THÉORÈME BEL ATI F ÂVX FONCTIONS HARMONIQUES DE PLUSIEURS 



VARIABLES REELLES, par M. d'Arone. [Comptes rendus de VAcad. des 

 sciences, t. CXVIII, 189^, p. 3/i2-3^3.) 



Soit une fonction harmonique V(^, y, 2) de trois variables réelles, 

 c'est-à-dire une fonction finie et continue, ainsi que ses dérivées 

 premières et secondes en tous les points de l'espace, situés à dis- 

 tance finie, et qui satisfait à l'équation 



M. d'Arone montre : 



1° Qu'une fonction harmonique, continue en tous les points à 

 distance finie, ne peut tendre vers l'infini positif et vers l'infini né- 

 gatif d'une manière différente ; 



^^ Que si une fonction harmonique est telle que son rapport à 

 une puissance entière et positive du rayon vecteur a pour limite 

 zéro quand le rayon vecteur augmente indéfiniment, la fonction se 

 réduit à un polynôme. 



En rapprochant ces deux propositions, on obtient ce théorème 

 général : 



Si une fonction harmonique est telle que son rapport à une 

 puissance entière et positive du rayon vecteur ne varie pas entre 

 l'infini négatif et l'infini positif quand le rayon vecteur croît au 

 delà de toute limite, ia fonction doit nécessairement se déduire à 

 un polynôme. 



