ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 583 



Sur les équations linéaires du second ordre renfermant un para- 

 mètre ARRiTRAiRE, par M. PiGARD. (Comptes rendus de VAcad. des 

 sciences, t. GXVIII, 189/1, p. 379-883.) 



M. Picard étudie l'équation linéaire du second ordre 



(1) ^2+^A(^)^ = o, 



oii k est une constante et k{x) une fonction continue supposée 

 positive dans un certain intervalle {a,b). 



On montre facilement que les valeurs de k, pour lesquelles cette 

 équation a une intégrale continue ainsi que sa dérivée première, et 

 s'annulant pour x = a et x = b, forment une suite discontinue de 



valeurs positives ^j, ^2'* • • 



L'auteur donne le moyen d'obtenir, par une suite de calculs ré- 

 guliers, les termes de cette suite et les intégrales singulières cor- 

 respondantes. 



Pour cela, il envisage l'intégrale u de l'équation (1) qui, pour 

 x = a et a=h^ prend respectivement les valeurs numériques arhi- 

 iraires A et B. Considérée comme fonction de k, u est une fonction 

 uniforme, dont les points singuliers sont précisément k^, A;^,. . ., et 

 ces points sont des pôles simples de u. 



Cela posé, voici comment on calculera k^. 



Tant que k^ck^, on aura pour u le développement 



u = UQ-\-u^^k-{- . . . -j- ii^k^ + • • • 

 Formant les constantes 



■ Un= I VQ(x)u,,(x)A{x)dx, 



on calculera i;^ par la formule 



K^ =lim — j:^ — 



La première valeur singulière /c^ étant obtenue , on peut, puisque 

 k^ est un pôle de w, écrire 



u = -^^ + v^-\-v^k-^ . . . -{-Vnk''-\- . . . [u' = \im {u„k'^)] 



1 n = CO 



jusqu'à k = k^. 



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