ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. .591 



très et a pour module maximum M dans chacun de ces cercles , 

 rintégrale sera représentée par la série 



yi + {y2-!/i)+ '" + (yn — yn-,)+' . . 



dont chaque terme est holomorphe à Tintérieur du cercle ayant 

 Torigine pour centre et un rayon h, en désignant par h la plus 



petite des deux quantités, a et -. 



Sur la série de Laplace, par M. Poing a ré. 

 ( Comptes rendus de VAcad. des sciences , t. CXVIII , 189/1, p. /197-501.) 



M. Poincaré donne une démonstration extrêmement simple du 

 théorème que Dirichlet a démontré le premier d'une manière assez 

 compliquée. Une fonction arbitraire des coordonnées d'un point sur 

 ^une sphère peut être développée en une série de fonctions sphé- 

 riques. 



Dirichlet n'a d'ailleurs pas défini avec une précision suffisante les 

 conditions auxquelles doit satisfaire la fonction arbitraire. M. Poin- 

 caré les précise de la manière suivante : 



Il suppose la surface de la sphère partagée en un certain nombre 

 de régions et chacune de ces régions limitée par un polygone cur- 

 viligne formé d'arcs analytiques; dans chacune de ces régions la 

 fonction arbitraire à développer est supposée analytique, mais elle 

 peut éprouver des discontinuités quelconques, quoique en restant 

 finie, quand on passe d'une région à l'autre. 



La démonstration de M. Poincaré peut même être étendue à des 

 cas plus généraux, mais celui-ci est le plus important. 



Sur les intégrales qui s'expriment par bes logarithmes , par 

 '■ M. GouRSAT. (Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. GXVIII, 

 189/i, p. 5i5-5i7.) 



Abel a démontré que si l'intégrale y R (a.', ^)(?^, attachée à la 

 courbe F{x,ij) = o, s'exprime par la somme d'un nombre fini de 



