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Sur use application de la tjiÉouie des groupes continus 1 la théorie 

 DES fonctions, par M. Painlevé. [Comptes rendus de TAcad. des 

 sciences, t. GXVIII, 189/1, p. 8/i5-8/i8.) 



M. Painlevé a déjà étudié les transcendantes uniformes u (z) 

 telles que les valeurs zi [ii) se déduisent d'un nombre fini d'entre 

 elles 2j , ^2 • • • î ^q P^i' ui^6 iiiQnité de transformations 



<pi{Zi,z)-=0, 



où Ç>i est un polynôme de degré m en zi et en z. Il a montré que 

 toutes ces fonctions se déduisent des fonctions automorphes par un 

 changement algébrique de la variable [Comptes rendus, juin 1892). 

 Actuellement, il donne de ce théorème une démonstration nou- 

 velle, qui lui permet de passer au cas de plusieurs variables. 



En conséquence, il se pose la question suivante : étudier les 

 transcendantes uniformes u [z), telles que les valeurs Zi de z cor- 

 respondant à une valeur u^ de m se déduisent d'un nombre fini d'entre 

 elles, z, Ç, . . . par une infinité de transformations (pi (zj, z, Ç) = , 

 où (pi est un polynôme de degré m par rapport à chaque variable. 



Cette question rentre elle-même dans un problème plus général. 

 Etudier les transcendantes uniformes u, v de deux variables z, Ç 

 telles que toutes les déterminations Zi, <^i de z,^ correspondant aux 

 valeurs Uq, Vq de u, v se déduisent d'un nombre fini d'entre elles 

 (^1' ^i)'- • • (^g' ^q) P^^ ^^® infinité de transformations 



(1) (pi [zi, z,^) = o, ii [Zi,z,Z) = o, 



où (pi, \f/j sont des polynômes de degré m par rapport à chaque 

 variable. 



M. Painlevé montre que, les substitutions (1) étant exprimées 

 algébriquement à l'aide d'un nombre minimum de paramètres 

 a, 6,. . .,/, l'ensemble des substitutions 



(2) (p [z,z, Ç, «, 6,. . ./) =0, i(/ (C, ^,K,(i, b,. . .J) = o 



forme un groupe continu algébrique. 



On peut aller plus loin et prouver que tout groupe (2) peut se 

 ramener algébriquement soit à un des types canoniques de Sophus 

 Lie , soit à un des groupes définis par les formules d'addition des 

 fonctions périodiques de deux variables. 



