1138 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



§6. 

 MATHÉMATIQUES. « 



Sur l intégration algébrique des équations différentielles linéaires, 

 par M. Painlevé. (Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. CKIX, 

 189/1, p. 37-Zio.) 



L'auteur rappelle certains résultats qu'il a obtenus antérieure- 

 ment et qu'il complète dans sa communication actuelle. 



Etant donnée une équation linéaire d'ordre q à coefficients algé- 

 briques 



dont les coefficients A sont exprimés rationnellement en fonction 

 des variables ^ et X liées par une relation algébrique, on peut tou- 

 jours (à l'aide d'un nombre fini d'opérations) reconnaître si l'in- 

 tégrale est algébrique ou ramener l'équation à une quadrature 



B désignant une fonction algébrique à N valeurs de (^, X); on est 

 alors ramené à reconnaître si la différentielle B(a7,X) dx s'intègre 

 par un seul logarithme. 



D'ailleurs on peut toujours calculer algébriquement toutes les in- 

 tégrales algébriques ou ramener le problème à reconnaître si une 

 certaine différentielle algébrique s'intègre par un seul logarithme. 



Plus généralement, si au lieu d'une équation linéaire on con- 

 sidère une équation d'ordre ^, dont l'intégrale générale est une 

 fonction algébrique connue des q constantes, on peut toujours cal- 

 culer algébriquement toutes les intégrales algébriques ou ramener 

 leur détermination à des quadratures. 



Les considérations précédentes s'étendent en partie aux inté- 

 grales algébriques, mais qui n'admettent qu'un nombre fini (non 

 donné) de valeurs. 



