ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 11 /il 



nombre quelconque de fonctions inconnues et un nombre quel- 

 conque de variables indépendantes, de simples éliminations, com- 

 binées avec des différentiations , permettent en général de les ra- 

 mener d'abord à une forme complètement intégrable dont l'ordre 

 est presque toujours supérieur à i, puis, de proche en proche, à 

 une forme linéaire et complètement intégrable du premier ordre. 



Sur la théorie des formes différentielles quadratiques, par M. de 

 Tannenberg. {Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. GXIX, 1 896 , 

 p. 321-82/1.) 



La réduction de la forme quadratique à n variables 



^Tdï^ = 2 aikdxidxk, 



i,k 



que l'on rencontre dans les équations de la mécanique, donne lieu 

 au problème suivant : 



Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que la 

 forme 'iïdt soit réductible à la suivante 



(2) ^Tdl'^ = dy\+ .*.+dyl+f{dyp+,,., .,dyn), 



les coefficients de/ étant indépendants de î/^, . . . , i/p. Effectuer îa 

 réduction dans le cas où elle est possible. 



M. Tannenberg donne la solution complète de ce problème, li 

 introduit le système invariant 



lié à la forme 2T et défini dans sa communication précédente 

 (i5 mai). Les intégrales du premier degré en x[, ^ . ., x[ de ce 

 système ont la forme 



et sont définies par le système 



(2) W,, =-^ + 2<^ = o. 



