ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 1159 



SvR LA BEPRÉSENTÂTION DES COURBES GAUCHES ALGEBRIQUES ET SUR UNE 



FORMULE d'Halphen, par M. Autonne. {Comptes rendus de VAcad. 

 des sciences, t. CXIX, 189^, p. 8/i5-8/i8.) 



On sait que toute courbe gauche algébrique indécomposable 

 peut être représentée par les équations 



On peut, sans changer la courbe, remplacer les deux poly- 

 nômes Pq, Pj de degrés r,r-j- 1, par deux autres polynômes Po,Pi', 

 de degrés r',r' -{- 1, choisis à volonté, pourvu que P^Pq — P^P^ soit 

 divisible par n. 



Excluant les courbes à points multiples, Halphen a montré qu'on 

 pouvait prendre pour Pq tout polynôme qui s'annule en chaque 

 point double apparent. 



Etendant l'analyse d'Halphen à des courbes douées de singula- 

 rités quelconques, M. Autonne parvient à ce théorème : 



Peut être pris pour dénominateur de z tout polynôme, tel que 

 la courbe Pq = o passe par chaque point double apparent et coupe 

 chaque cycle de/(^, ij) = o, issu du point multiple m en o- points 

 confondus avec m, a ne pouvant être plus petit qu'un nombre 

 fixe (Jq, que l'auteur calcule à l'aide de développements en série. 



Sur une formule empirique de M. Pervouchine , par M. Cesaro. 

 [Comptes rend, de VAcad. des sciences, t. CXIX, 189/1, p. 8/18-8/19.) 



L'auteur conteste l'exactitude théorique d'une formule arithmé- 

 tique de M. Pervouchine. A cette formule 



^ = log w -f log log w — 1 -) i h - 



oii pn est le n^^"^ nombre premier, il montre qu'il convient de sub- 

 stituer la suivante : 



g^ =. log « + log log » - 1 + ' "« \^ - " - ' _ (i°i!i"i;'')'-c'°s'°i;"+ ■ ■ . 



