ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 1169 



est une somme des fonctions d{d) ])rises pour tous les diviseurs d 

 du nombre entier ?i entre les limites a et b inclusivement. 



La théorie de ces intégrales est intimement liée avec la théorie 

 des intégrales numériques suivant les diviseurs. Elle donne des lois 

 numériques nouvelles pour l'arithmologie ou la théorie des fonc- 

 tions discontinues. 



M. Bougaïef donne quelques exemples de ces lois. 



Sur les cas d^intégrabilité du mouvement d^un point dans un plan ^ 

 par M. Elliot. {Ann. de V Ecole normale supérieure, 3® série, t. XI, 

 p. 9-22.) 



Le mémoire de M. Elliot est relatif à un problème particulier, 

 qui relève à la fois de deux théories dues, Tune à M. Bertrand, 

 l'autre à Liouville. M. Bertrand avait considéré les problèmes où, 

 le mouvement d'un point matériel étant produit par des forces qui 

 dérivent d'un potentiel, il existe, outre l'intégrale des forces vives, 

 une autre intégrale du second degré par rapport aux composantes 

 des vitesses (intégrale quadratique). Liouville avait antérieurement 

 indiqué un cas étendu où le mouvement d'un point peut être déter- 

 miné par des quadratures ; dans ce cas il existe une intégrale qua- 

 dratique. La méthode aujourd'hui classique de Jacobi rend ce ré- 

 sultat intuitif, l'équation du problème prenant alors la forme 



qui permet d'obtenir une intégrale complète par séparation des 

 variables. 



M. Elliot se propose d'abord de trouver toutes les fonctions U 

 de X et y, telles qu'un changement de variables approprié 



x^ = k(x,y), y2=^{^^y) 



transforme l'équation de Jacobi 



en une autre du type ci-dessus. Le problème ne comporte pas 

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