1170 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



d'autres solutions que celles que Liouville avait fait connaître. C'est 

 ce qui résulte avec évidence d'un théorème beaucoup plus général 

 démontré par M. G. Morera {Atti délia R. Accad. di Torino, t. XVI, 

 1880-1881, p. 276) et qui explique le peu de succès du procédé 

 d'intégration employé par Jacobi : rr Pour que l'équation de Jacobi , 

 relative au mouvement d'un point sur une surface , sous l'action de 

 forces dérivant d'un potentiel, s'intègre par séparation des va- 

 riables, il faut que l'élément linéaire de cette surface soit réductible 

 à la forme 



et que le potentiel ait pour expression 



<P{qù + -^(9,)' 



ce qui est précisément le cas étudié par Liouville. i-> 



Au cours de son analyse, M. Elliot trouve l'intégrale générale 

 de l'équation aux dérivées partielles du second ordre à laquelle 

 doit satisfaire la fonction des forces pour qu'il existe une intégrale 

 quadratique. 



M. Bertrand avait déduit de cette équation les intégrales parti- 

 culières qui correspondent aux cas où les forces ne dépendent que 

 des distances du mobile à des points fixes du plan. Dans la seconde 

 partie de son travail, l'auteur étend la méthode de M. Bertrand 

 aux cas où les forces dépendent des distances du mobile à des 

 droites fixes du plan. 



Si l'on considère des forces, dont les intensités ne soient pas 

 indépendantes les unes des autres, on peut trouver, comme le 

 montre M. Elliot, de nouveaux cas où la méthode de Jacobi est appli- 

 cable. Tel est par exemple celui d'un mobile sollicité simultanément 

 par les forces suivantes : 1° une force constante parallèle à Oy\ 

 2° une force perpendiculaire à Otj et inversement proportionnelle 

 au cube de la distance; 3° une force dirigée vers l'origine en raison 

 inverse du carré de la distance; 4** une force hy émanant de 0^; 

 5° une force —h^x émanant de Oy; 6° une force dirigée vers l'ori- 

 gine et ayant pour expression [h-{- kh^^)-- 



