1172 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



tence d'une droite de convergence, dont il détermine l'abscisse au 

 moyen des coefficients de la série. 



Il cherche ensuite les conditions nécessaires et suffisantes pour 

 qu'une fonction f{s) soit développable en série de la forme 



V a„e~^"^ Il énonce un théorème relatif à la multiplication de 

 ces séries. Enfin il applique ces résultats aux séries de la forme 

 ^ -| , et donne de ces dernières quelques applications arithmé- 

 tiques immédiates. Ces divers résultats font l'objet du premier cha- 

 pitre. 



Dans le chapitre ii, l'auteur rappelle, en y ajoutant quelques 

 corollaires de nature arithmétique, les résultats obtenus par Rie- 

 mann relativement à la fonction ^(s). 



Etant conduit à étudier la fonction 



xw=2: 



oo 



(2n + i 



introduite par Schlômilch, M. Gahen montre qu'on peut en faire 

 une théorie complètement analogue à celle de ^(s). 



Dans le chapitre m est indiquée une nouvelle généralisation :K{s) 



et )(^(s) ne sont que des cas particuliers des séries ^ -^ dans les- 

 quelles les coefficients «„ se reproduisent périodiquement de p en p. 

 Dans le cas de p premier, il y a j» — i séries indépendantes de 

 la forme indiquée. On peut précisément en choisir p — i qui jouis- 

 sent d'une relation fonctionnelle analogue à celles de ^{s) et xi^)- 

 En particulier on obtient les séries 



( - I étant le caractère quadratique de n par rapport à p. 



En étudiant les zéros de ces fonctions, M. Gahen est conduit à 

 des fonctions holomorphes analogues à la fonction f(() que Riemann 

 rattache à K{s)- H emploie pour cela une méthode générale qui, 



d'une relation fonctionnelle relative à une série de la forme ^-75 

 permet d'en déduire une relative à une série de la forme ^ a„ e~ ^ • 



