1182 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Recherches sur les surfaces harmoniques (résumé), par M. L. 

 Raffy. {Bull, de la Soc. mathématique de France, t. XXII, 1894, 

 p. 63-66,8/1-96.) 



Comme l'indique son titre, cette communication résume un 

 ensemble étendu de recherches sur les surfaces harmoniques, ou sur- 

 faces dont Télément linéaire est réductible à la forme 



ds'' = [\^{u)-'S{v)]{dv:' + dv''). 



Après avoir rappelé les travaux de ses devanciers, notamment 

 deux résultats de la plus haute importance, dus à Weingarten, 

 Tauteur s'exprime ainsi : 



ff Tout ce qui constitue aujourd'hui la théorie des surfaces har- 

 moniques, en dehors des travaux que nous venons d'énumérer, est 

 contenu, à fort peu de chose près, dans nos Recherches. C'est ce 

 qui résulte du rapport présenté à l'Académie des sciences [Comptes 

 rendus, t. CXV, 1892, p. 1122) sur le concours dont cette théorie 

 a fait le sujet. Le mémoire couronné traite exclusivement des élé- 

 ments linéaires doublement harmoniques, dont la détermination 

 complète forme la seconde partie de mon travail. Un autre, qui a 

 partagé avec le mien une mention honorable, ne contient, sauf 

 quelques théorèmes communs aux trois mémoires approuvés, que 

 les deux beaux résultats mentionnés ci-dessus, le second trouvé 

 sans nul doute avant que M. Weingarten le publiât, n 



Suit l'analyse, chapitre par chapitre, des trois parties des Re- 

 cherches de M. Raffy. 



Première partie (publiée dans les Annales de la Faculté des sciences 

 de Toulouse, année 189/1.) Au chapitre i*"" est rappelé le théorème 

 fondamental de M. Massieu, qui rattache à la forme harmonique de 

 l'élément linéaire l'existence d'une intégrale quadratique pour le 

 problème des lignes géodésiques; cette proposition est mise sous 

 une forme qui se prête à d'importantes applications. Ainsi il est 

 prouvé au chapitre 11 que toute surface harmonique à lignes d'égale 

 courbure parallèles est applicable sur une surface de révolution. 

 La seconde application (chap, m) est la détermination complète 

 des surfaces régi e'es harmoniques; à part celles qui sont applicables 

 sur des surfaces de révolution, elles résultent toutes de la défor- 

 mation de surfaces du second degré, réelles ou imaginaires. Le cha- 



