ANALYSES ET ANNONCES. - MATHEMATIQUES. 1183 



pitre IV traite des intégrales linéaires et quadratiques de Téquation 

 aux cercles géodésiques, telle que Ta présentée M. Darboux. Il est 

 prouvé que l'intégrale linéaire n'existe que pour les surfaces de 

 révolution; s'il existe une intégrale quadratique, la surface est 

 généralement harmonique et son élément linéaire satisfait à une 

 équation fonctionnelle. 



Deuxième partie (publiée dans le Journal de mathématiques pures 

 et appliquées, année 1894). Elle a pour objet la détermination des 

 éléments linéaires doublement harmoniques , c'est-à-dire réductibles de 

 deux manières, et, par suite, d'une infinité de manières à la forme 

 harmonique. Il s'agit de trouver toutes les fonctions (p(x-\-ij) et 

 f{x — y) qui vérifient, conjointement avec deux autres fonctions in- 

 connues X{x) et Y('i/) l'équation différentielle indéterminée 



((X" + Y")((p-/) + 3(X'-Y')(?' 

 ^ ' \ -3(X' + Y')/'+2(X-Y)((p"-/") = o. 



Au chapitre i^"", après une classification des éléments linéaires 

 harmoniques, qui fournit, quand l'élément est donné sous la forme 

 {(p—f)dxdy, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il 

 soit doublement harmonique, viennent wdeux lois intuitives, qui, 

 bien qu'essentiellement distinctes, concourent à faire connaître des 

 exemples nouveaux d'éléments linéaires doublement harmoniques; 

 l'une est la loi de passage, l'autre la loi de réciprocités. 



Grâce aux développements des chapitres 11 et m où sont déter- 

 minées toutes les solutions de l'équation (E) quand {<p — f)dxdy 

 est l'élément linéaire d'une développable, d'une surface à cour- 

 bure totale constante, ou d'une surface de révolution doublement 

 harmonique, les deux lois précitées fournissent (chap. iv) dix solu- 

 tions nouvelles du problème, ce qui en fait trente-six en tout. Le 

 reste du chapitre est employé à démontrer qu'iï nen existe point 

 d'autres, ainsi que l'auteur l'avait annoncé dès 1889. Il y arrive 

 par des considérations empruntées à la théorie des fonctions de 

 variable complexe , en établissant d'abord que toutes les fonctions 

 X, Y, Ç,/, qui satisfont a V équation (E), sont des fonctions uniformes, 

 puis, qu'e//es ne présentent, a distance finie , d'autres singularités que des 

 pâles à résidu nul. La distinction une fois faite entre les solutions 

 possibles, d'après leurs pôles et leurs périodes, un raisonnement 

 direct détermine toutes les solutions doublement périodiques. Mais 



