118A REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



la recherche des autres serait bien peu avancée si l'auteur ne fai- I 

 sait dépendre leur connaissance d'un problème, en apparence tout 

 autre et plus général : trouver toutes les fonctions X(j?) qui sont uni- 

 formes et qui deviennent des fonctions uniformes de ç par le changement 

 de variable 



d^=-^. 



La solution complète de cette dernière question fournit toutes les 

 formes analytiques, parfaitement déterminées, que peuvent revêtir 

 les fonctions X, Y, (p et/ et qui couiportent au plus huit constantes 

 arbitraires. On est ramené à une question de calcul algébrique pour 

 déterminer, dans la mesure oii elles doivent l'être, les constantes 

 arbitraires et Ton reconnaît que les éléments linéaires doublement 

 harmoniques énuraérés au début du chapitre sont bien les seuls 

 qui existent. 



Le chapitre v traite d'une classe importante d'éléments li- 

 néaires que M. Sophus Lie a considérés le premier, mais sans les 

 calculer, et dont la détermination est implicitement contenue dans 

 le chapitre précédent. Des résultats obtenus par M. Lie et conve- 

 nablement complétés par l'auteur, il suit que toute surface suscep- 

 tible d^être représentée sur certaines surfaces avec conservation d'une seule 

 des familles de lignes de longueur nidle et sur d'autres avec consewation 

 de ces deux familles est une surface doublement harmonique. 



Troisième partie (publiée dans les Annales de V Ecole normale su- 

 périeure, année 1896). L'objet de cette dernière partie est la déter- 

 mination de tous les éléments linéaires harmoniques qui conviennent a des 

 surfaces spirales. Le problème revient à trouver toutes les fonctions 

 T de x-\-y., qui vérifient, conjointement avec deux autres fonctions 

 inconnues X(^) et Y(^), l'équation différentielle 



( 2X(T' + r^-2iT-i)-2Y(T' + T-^ + 2iT-i) 

 ^^> \ +3X'(T-^)-3Y'(T + ^) + X"-Y" = o, 



où les accents désignent des dérivées et i l'unité imaginaire. L'au- 

 teur montre d'abord que pour les spirales simplement harmoniques , les 

 fonctions X et Y sont nécessairement de la forme Ae^^^, Be"^''^, ow A, B, r 

 sont trois constantes dont la dernière peut être nulle. 11 est ainsi conduit 

 à traiter l'équation (S) d'abord en réduisant X et Y à des constantes , 



