ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 1185 



puis en prenant pour X et Y deux exponentielles, ce qui donne les 

 deux éléments linéaires 



(m) ds^ =^ {au'^' — bv ){du'^ + dv^), 



(?) ds- = ( log au — log bv ){du^-\- dv^ ) 



o\x fl, è, m désignent des constantes arbitraires. 



. Le chapitre i finit par la détermination des éléments linéaires 

 qui conviennent à la fois à des spirales et à des surfaces de révo- 

 lution : ils rentrent tous dans le type {x-\-ijYdxdy. 



Au chapitre ii Téquation (S) est complètement discutée et ré- 

 solue. Laissant de côté les cas particuliers déjà traités on exprime 

 X' et Y' sous la forme linéaire 



(t) X' = T,X + TJ, Y'=T3X + TJ, 



les lettres T^ désignant des fonctions rationnelles de T et de ses 

 quatre premières dérivées. Il suit de là que la fonction T doit sa- 

 tisfaire à deux équations différentielles du cinquième ordre, telle- 

 ment compliquées, qu'on ne peut songer à les employer. C'est 

 pourquoi M. Raffy procède tout autrement. Il considère les Tj 

 comme des fonctions inconnues, sans relation entre elles, et dé- 

 montre que le système (t) admet deux solutions et deux seulement, 

 qui sont déterminées à des constantes près. Substituant les expres- 

 sions de X, Y et des Tj, qui forment ces deux solutions, dans l'é- 

 quation (S), on la décompose en deux équations de Riccati, dont 

 la discussion comporte l'examen de cas assez nombreux. La conclu- 

 sion finale est que le type (m) avec ses formes dégénérées (/) et (e) 

 (e) ds^ = {e^^—e^'){dvP- + dn^) 



comprend tous les éléments linéaires cherchés, sans toutefois les 

 représenter tous sous leur forme harmonique la plus générale. 



Dans les recherches que nous venons de résumer, l'auteur ne 

 s'est occupé que de déterminer des éléments linéaires jouissant de 

 certaines propriétés assignées à l'avance, ce II y aurait assurément 

 intérêt, dit-il, à connaître les surfaces qui correspondent à ces 

 cléments linéaires. Mais de pareils problèmes sont en général, 

 comme Ossian Bonnet l'a dit, au-dessus des forces de l'analyse 

 actuelle. Plus d'un d'ailleurs, parmi ceux que nous avons résolus, 

 présentait déjà des difficultés considérables, qu'on pourra mesurer 

 aux ressources mises en œuvre pour les surmontent. 



Revue des trav. scient. — T. XV, n° 11. 79 



