ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUh:S. 1191 



mis à des forces qui ne dépendent ni des vitesses ni du temps. La 

 proposition principale qu il établit concerne les positions régulières 

 du système ou positions dans le voisinage desquelles les coefficients 

 des équations de Lagrange sont des fonctions régulières des k pa- 

 ramètres Ç>i qui définissent la position du système. 



Si, t tendant vers t^, (S) tend vers une position régulière, ses vitesses 

 tendent respectivement vers une limite finie. Si, t croissant indéfiniment 

 ( S ) tend vers une position régulière , cette position est nécessairement une 



position d'équilibre, et toutes les vitesses tendent vers zéro avec -. 



De ce théorème résultent diverses conséquences au sujet des tra- 

 jectoires réelles; pour les énoncer, remarquons que dans tout do- 

 maine (Efc), où les coefficients des équations de Lagrange sont 

 holomorphes, une trajectoire ne comporte que deux mouvements 

 distincts différant seulement par le sens, mouvements réels si la 

 force vive T est positive, imaginaires si T est négative. «Mais les 

 mouvements imaginaires deviennent réels (et réciproquement) si 

 Ton change t en it, ce qui revient à changer le sens de toutes les 

 forces appliquées au système. En appelant mouvement conjugué 

 du mouvement vrai de (S) le mouvement qui correspond aux nou- 

 velles forces, on voit que les trajectoires réelles se divisent natu- 

 rellement en trajectoires vraies et trajectoires conjugées. Il existe un 

 faisceau (à ^ paramètres) de trajectoires pour lesquelles T s'an- 

 nule au moins en un point M', qui nest pas un point d'équilibre; 

 en ces points , dits points d'arrêt , le système rétrograde sur la tra- 

 jectoire, qui est alors formée de segments alternativement vrais ou 

 conjugués, séparés par les points M'; nous la nommons trajectoire 

 mixte. 



ffll peut exister toutefois (mais il n'existe pas en général) des 

 , trajectoires exceptionnelles qui comportent une infinité de mouve- 

 ments; ces trajectoires sont nécessairement des géodésiques de T, 

 et elles dépendent au plus de A; — i paramètres. Elles seront dites 

 trajectoires remarquables. 



«Ces définitions adoptées, soit M un point de (E;;;); par ce point 

 passent une infinité de trajectoires réelles (G) tangentes à une di- 

 rection quelconque donnée et qui dépendent d'une constante arbi- 

 traire; ces trajectoires sont toutes des courbes analytiques régulières 

 dans le voisinage de M. Elles comprennent un faisceau à un para- 

 mètre de trajectoires mixtes présentant dans (Ejt) un point d'arrêt, 



