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quatrième classe, corrélatives des surfaces à conique double, et 

 ayant le cercle de l'infini pour ligne double. 



Il effectue alors cette détermination par le calcul et donne sous 

 une forme remarquable l'équation finie de ces lignes de courbure. 



Il démontre ensuite le théorème suivant : 



La surface de quatrième classe corrélative de la surface à co- 

 nique double et ayant le cercle de l'infini pour ligne double peut 

 être considérée de quatre manières différentes comme une anti- 

 caustique par réfraction relative à des rayons parallèles tombant 

 sur une surface du second degré. Les surfaces du second degré cor- 

 respondant aux quatre modes de génération sont homofocales; elles 

 passent par les quatre coniques doubles de la surface de quatrième 

 classe, et dans chaque mode de génération les rayons incidents 

 sont normaux au plan de la conique double correspondante. 



Or M. Laguerre avait précédemment (Journal de mathématiques, 

 y série, p. 1^5) fait connaître, d'une manière générale, les 

 lignes de courbure des anticausliques par réfraction relatives à des 

 rayons parallèles qui tombent sur une surface du second degré , 

 mais sans étudier ces surfaces. 



Les résultats obtenus par M. Darboux montrent donc, comme il 

 le remarque, que M. Laguerre avait précédemment déterminé les 

 lignes de courbure de la surface de quatrième classe corrélative de 

 la surface à conique double et ayant le cercle de l'infini pour ligne 

 double, en même temps qu'ils font connaître une génération im- 

 portante de ces surfaces. H. D. 



SVR LA TRANSFORMATION PAR DIRECTIONS RÉCIPROQUES, 



par M. Laguerre. [Comptes rendus, 1881, t. XCII, p. 71 .) 



Dans cette note M. Laguerre étudie une transformation des sur- 

 faces qui présente de grandes analogies avec la transformation par 

 rayons vecteurs réciproques. Les principales propriétés de cette 

 transformation sont les suivantes : 



1° Les lignes de courbures sont conservées. 



2" La transformée d'une surface s est Tanticautique d'une cer- 

 taine surface s. 



