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lions anal) tiques analogues aux fonctions elliptiques ; puis il 

 montre qu'à Faide de ces fonctions on peut intégrer diverses équa- 

 tions différentielles linéaires à coefficients algébriques. 



Soit 2, une variable imaginaire représentée par un point dans 

 un plan, M. Poincaré appelle cercle fondamental le cercle qui a 

 pour centre l'origine et pour rayon l'unité ; groupe hyperbolique 

 le groupe des opérations qui consistent à changer z en — J-^ 

 (fl, 6, c, d étant des constantes); groupe discontinu tout groupe 

 qui ne contient pas d'opération changeant z en une quantité in- 

 finiment voisine de z; groupe fuchsien tout groupe discontinu 

 contenu dans le groupe hyperbolique. 



M. Poincaré est arrivé à former tous les groupes fuchsiens à 

 l'aide de la géométrie non euclidienne. Il a résolu ainsi une ques- 

 tion très intéressante en elle-même et qui se rattache aussi, comme 

 il l'a fait voir, à la théorie des nombres. Il appelle ensuite fonction 

 thétafuchsienne de z toute fonction [z) uniforme en z et telle 

 que fi{z) désignant une opération quelconque d'un groupe fuch- 

 sien , on ait identiquement 



et il démontre qu'étant donné un groupe fuchsien, il existe une 

 infinité de fonctions thétafuchsiennes correspondant à ce groupe 

 définies par la série convergente. 



oo 



où m est un entier plus grand que i,H(2) une fonction ration- 

 nelle de z. 



Il pourra alors se présenter deux cas : i° tous les points du 

 cercle fondamental sont des points singuliers essentiels de 0(2); 

 il y a alors en réalité deux fonctions distinctes, l'une n'exis- 

 tant qu'à l'intérieur du cercle fondamental, l'autre qu'à l'extérieur; 

 car on ne peut passer de l'une à l'autre par continuité ; 2° 0(2) a 

 une infinité de points singuliers essentiels sur le cercle fonda- 

 mental, mais ils sont isolés, de sorte que la fonction existe dan^ 

 tout le plan. 



