MATHÉMATIQUES. 2h3 



Cette fonction est toujours méromorphe, sauf sur le cercle fon- 

 damental, et M. Poincaré donne le moyen de calculer le nombre de 

 ses zéros distincts et de ses infinis distincts. Le quotient de deux 

 fonctions thétafuchsiennes correspondant à un même groupe 

 fuchsien et à une même valeur de l'entier m sera une fonction 

 ¥{z) uniforme en z et telle que 



FL/;W] = F{z). 



F (2) est donc une fonction uniforme en z qui reste inaltérée 

 par toutes les opérations d'un groupe fuchsien. M. Poincaré rap- 

 pelle une fonction fuchsienne. 



Il démontre ensuite les deux théorèmes suivants : 



1° Entre deux fonctions fuchsiennes ayant même groupe et 

 n'ayant d'autres points singuliers essentiels que ceux qui sont une 

 conséquence de leur définition, il y a une relation algébrique. 



2° Toute fonction fuchsienne F (2) permet d'intégrer une équa- 

 tion linéaire à coefficients algébriques de la manière suivante : 



Si l'on pose 



Ji ^t J2 satisfont à l'équation différentielle 



(p[x) étant algébrique en x. 



M. Poincaré définit ensuite d'autres fonctions qu'il appelle fonc- 

 tions zétafuchsiennes qui lui permettent d'intégrer une infinité 

 d'équations différentielles linéaires, et entre autres toutes les 

 équations différentielles linéaires à coefficients rationnels qui ne 

 présentent que deux points singuliers à distance finie et un à 

 l'infini. Enfin, il fait des applications parlicidières de cette 

 théorie. 



On voit donc, en résumé, que le travail de M. Poincaré a mis 

 en lumière une classe très étendue de fonctions que beaucoup de 

 propriétés rapprochent soit des fonctions elliptiques, soit des fonc- 

 tions et Z, et qui reculent de beaucoup le champ des équations 

 différentielles que l'on sait intégrer. H. D. 



lO. 



