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Sur une classe d'intégrales abeliennes et sur certaines 

 ÉQUATIONS différentielles, par M. Picard. [Comptes rend. 

 Acod. des sciences, 1881, t. XCII, p. 398.) 



Sur l'intégration algébrique d'une équation analogue à 

 celle d'Euler, par M. Picard. [Comptes rend. Acad. des 

 sciences, 1881, t. XCII, p. 5o6.) 



Soit /(a;, y] une relation algébrique d'ordre p, et soit 



f- 





une intégrale abelienne de première espèce correspondante. 

 M. Picard démontre le théorème suivant : Si les périodes de l'in- 

 tégrale considérée se réduisent à deux, Téquation aux différen- 

 tielles totales 



fyA^vyi) ' fyAoo,.y,) fypi^p^yp) ' 



aura son intégrale générale algébrique et réciproquement. Il traite 

 ensuite le cas particulier de la courbe du second genre 



y'^==x (1 — x) (1 — li^x) (1 — yp-x) (1 — y?-x) =R(a?) 



Le problème à résoudre est le suivant : Chercher comment 

 doivent être choisis fe, X et fx pour qu'on puisse trouver un poly- 

 nôme du premier degré /(a?), tel que l'équation 



f[x,)dxf{x^)dx^ _^ 



ait son intégrale^algébrique. M. Picard a complètement résolu ce 

 problème. Il donne les expressions de A^, X^, {i^ qui sont certaines 

 fonctions de deux quantités a et assujetties seulement à la con- 

 dition d'avoir pour coefficients de i des quantités positives et d*un 

 entier D. Alors on peut trouver toujours , non seulement un, mais 

 deux poly nomes /(ic), tel que l'équation (1) ait son intégrale algé- 

 brique; cette intégrale est du degré 2D par rapport aux quantités 

 X. -\-x^ei x^ iTg; enfin, il déduit encore des résultats précédents 



