MATHÉMATIQUES. 399 



que celles employées par Archimède , à rapproxiination 7r=3,i4i6 

 qu'on a rencontrée dans Tlnde. 



Archimède part des valeurs approchées pour v/3 : — ^rr et . 



I/application du procédé d'extraction de la racine carrée , connue des 

 anciens, conduit à une valeur par excès de y 3 qui se trouve éga- 



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 lement dans les écrits héroniens : ^ , fraction dont les deux 



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termes sont des solutions de nombres entiers de Téquation : 



P— 39-^=1 (1) 



262- 3,i5'^= 1 



De plus, l'extraction d'une racine conduit d'une solution de 

 l'équation (1) à une suite indéfinie d'autres solutions. Mais, d'autre 

 part, Archimède connaissait aussi des solutions de l'équation : 



et si nous considérons les deux tableaux suivants : 



SOLUTION DE p- — 37- = 1 : 



p : 2, 7, 27, 97, 362, i35i, 00^2, 18817.. . 

 q : 1, /i, i5, 56, 209, 780, 2911, 10864. . . 



SOLUTION DE p- — Sq- == '2 : 



p: 1, 5, 19, 71, 265, 989, 3691, 13775... 

 q: 1, 3, 11, 4i, i53, 571, 2i3i, 7952... 



Si Archimède a connu des solutions de ces équations, il ne faut 

 pas pour cela lui attribuer la solution générale du problème au- 

 quel est attaché maintenant le nom de Pell. M. Tannery montre 

 clairement comment les anciens pouvaient, avec leurs seules mé- 

 thodes , trouver de telles solutions. 



Ceci posé : on reconnaît que les valeurs approchées ^^ et 



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- de v/3 sont des valeurs de - dans les tableaux écrits. Pour 



760 q 



({uoi Archimède a-t-il choisi ces fractions de préférence aux autres? 

 Probablement il a essavé successivement les diverses valeurs four- 



